Тыртышников Е.Е. | Лекция 4 по спецкурсу “Алгебра и геометрия тензоров“, 2023 осень | ВМК МГУ

00:00:00 Матрица Сильвестра • В видео рассказывается о матрице Сильвестра, которая определяется двумя многочленами от одной переменной. • Матрица имеет блочное разбиение и коэффициенты первого многочлена расположены в верхней части, а коэффициенты второго многочлена - в нижней. 00:15:17 Определение результата двух многочленов • Результат двух многочленов - это определитель матрицы Сильвестра. • Результат является многочленом от переменных, которые представляют коэффициенты многочленов. 00:19:56 Применение матрицы Сильвестра • Матрица Сильвестра позволяет исключить неизвестные из системы уравнений. • Если два многочлена имеют общий корень, то определитель матрицы Сильвестра равен нулю. 00:21:44 Доказательство леммы • Доказывается лемма, которая позволяет исключить неизвестные из системы уравнений. • Матрицу Сильвестра умножают на вектор-столбец, содержащий коэффициенты многочленов. • Результат умножения равен определителю матрицы Сильвестра, умноженному на вектор-столбец. 00:25:14 Теорема Гильберта о нулях • В этой части обсуждается теорема Гильберта о нулях, которая утверждает, что система полиномиальных уравнений имеет общий ноль тогда и только тогда, когда единица не принадлежит идеалу, порожденному многочленами системы. • Доказательство теоремы основано на исключении неизвестных и построении вектора решений. 00:33:47 Идеалы исключения • В этой части рассматриваются идеалы исключения, которые получаются путем исключения переменных из исходного идеала. • Идеалы исключения связаны с алгебраическими многообразиями и их алгебраическими замыканиями. 00:47:02 Построение базиса Греплера • В этой части обсуждается построение базиса Греплера, который является базисом для идеала исключения. • Если порядок переменных лексикографический, то базис Греплера будет базисом для идеала исключения. 00:52:45 Доказательство теоремы Гильберта о нулях • В видео обсуждается доказательство теоремы Гильберта о нулях, которая утверждает, что для любого идеала в кольце многочленов от одной переменной существует общий ноль. • Для доказательства используется лема, которая утверждает, что если идеал исключения имеет общий ноль, то и исходный идеал также имеет общий ноль. 01:03:13 Пример применения лемы • В качестве примера рассматривается система многочленов от одной переменной, и доказывается, что если идеал исключения имеет общий ноль, то и исходный идеал также имеет общий ноль. • В случае, когда идеал исключения совпадает со всем кольцом многочленов, доказывается, что это невозможно, и исходный идеал не может совпадать со всем кольцом многочленов.