Диссертация Валягина Дмитрия Андреевича, где впервые применён метод Ньютона для нахождения внутренней нормы доходности (IRR)

В диссертации на тему “Совершенствование методики оценки эффективности инвестиционных проектов“ автором в октябре 2006г. были предложены новые методы нахождения внутренней нормы доходности инвестиционных проектов (IRR): Метод дифференциального исчисления Ньютона (касательных), упрощённый метод Ньютона (касательных), комбинированный метод хорд и Ньютона (касательных). До этого использовали графический способ, метод итераций (хорд) и метод половинного деления для нахождения IRR. На защиту в диссертационном совете числовые примеры были представлены в виде сравнения – существующие методы: графический, метод хорд, метод половинного деления и предлагаемый автором метод дифференциально исчисления Ньютона (касательных) для нахождения IRR. Критерием истинности служило совпадение числовых ответов. Совпадение числовых ответов выделил красным цветом. Привести числовые примеры на защиту диссертации, было обязательным требованием членов диссертационного совета в силу необычности этого события, так как метод Ньютона (касательных) вызвал удивление. Слишком уж сильно имя Исаака Ньютона связано с физикой, а не с экономикой. Хотя по сути, ничего удивительно тут нет, исторически метод касательных был разработан Ньютоном для решения алгебраических уравнений (полиномов), а чтобы найти внутреннюю норму доходности (IRR) надо решать алгебраическое уравнение. Мне как автору очень приятно, что метод дифференциального исчисления Ньютона (Касательных) для нахождения внутренней нормы доходности инвестиционных проектов (IRR), который я защитил в диссертации в октябре 2006г. вошёл в учебники по финансовой математике, как в России, так и за рубежом. Скрин из учебника по финансовой математике (рис.1) На вопрос, почему его до меня не применили, заключается в том, что не сам метод Ньютона (касательных) вызывает трудность применения. Его геометрическая интерпретация понятна: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к графику исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность. Дело в том, чтобы применение этого метода было целесообразным нужно иметь непрерывно дифференцируемую функцию на всём участке в виде целой рациональной (полиномиальной функции), так как её производная легко находится с помощью элементарных правил дифференцирования. Способ получения непрерывно дифференцируемой функции для IRR в виде целой рациональной функции (полиномиальной функции), что позволило применить метод Ньютона (касательных) я подробно изложил в диссертации. Важно следующее, что алгебраическое уравнение для IRR будет иметь N корней, так как число корней роняется степени алгебраического уравнения. Полученные корни могут быть мнимыми и действительными. У выведенной мной непрерывно дифференцируемой функции для IRR в виде целой рациональной (полиномиальной функции) только два действительных корня: один положительный, другой отрицательный, остальные корни мнимые. То есть если построить график этой функции (рис.2), то ось абсцисс график пересекает два раза – слева от нулевой точки координат и справа от нулевой точки координат. Корней будет N (мнимые и действительные в сумме), но действительных корней только два (положительный и отрицательный). Причём как бы не увеличивалась степень алгебраического уравнения для IRR, действительных корней будет два, увеличиваться будут только мнимые корни. Методом Ньютона (касательных) мы находим только положительный действительный корень. Это уравнение в силу своего экономического смысла всегда имеет один действительный положительный корень. Отрицательный корень и мнимые корни находить не надо, так как они экономического смысла не имеют. Историческая справка: В 1707 году вышла книга «Универсальная арифметика» — монография английского физика, математика, астронома Исаака Ньютона (1643-1727), впервые опубликованная в 1707 году на латинском языке. Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в развитие этого раздела математики. Позднее книгу под таким же названием опубликовал Эйлер в 1768—1769 годах. В ней приведены разнообразные численные методы. Ньютон всегда уделял большое внимание приближённому решению уравнений. Знаменитый метод Ньютона (касательных) позволял находить корни уравнений с немыслимой ранее скоростью и точностью (опубликован в «Алгебре» Валлиса, 1685). Современный вид итерационному методу Ньютона придал Джозеф Рафсон (1690).