Сумма расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней постоянна // Сергей Фролов / Математический мирок

Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней постоянна. Задача взята из сборника статей академика А.Н. Колмогорова «Математика — наука и профессия». Соединяем внутреннюю точку с вершинами тетраэдра. Получаем четыре тетраэдра, из которых состоит исходный тетраэдр. Сумма объёмов этих четырёх тетраэдров равна, очевидно, объёму исходных тетраэдров. Записываем это утверждение в виде равенства. Далее объём каждого тетраэдра записываем в виде одной трети произведения его высоты на площадь основания. Поскольку площади оснований всех пяти тетраэдров равны, можно разделить обе части равенства на эту площадь. После умножения обеих частей полученного равенства на три, получаем: сумма высот тетраэдров, из которых состоит исходный тетраэдр, равна высоте этого тетраэдра. Но эта сумма высот и есть ни что иное, как сумма расстояний от внутренней точки тетраэдра до его граней. Она равна высоте исходного тетраэдра, т. е. постоянна, что и требовалось доказать.