Когда надо выстрелить из пушки, чтобы жители города в среднем услышали выстрел в полдень? // Сергей Фролов /Математический мирок

Из пушки, установленной в центре города Н., граница которого представляет собой окружность радиуса 10200м., был произведён выстрел. Оказалось, среднее значение времени, в которое жители города услышали звук выстрела, составляет 12 часов. В какое время был произведён выстрел? На каком расстоянии от центра города находились его жители, услышавшие звук выстрела ровно в полдень? В какое время услышали звук выстрела жители города, находящиеся на его границе? Скорость звука в воздухе считать равной 340 м/c, а город считать заселённым равномерно. Будем считать, что размер жителя мал по сравнению с размером города, а количество жителей в городе велико. Это позволит нам приблизить дискретную задачу непрерывной. Введём декартову прямоугольную систему координат Oxy на плоскости, начало которой совпадает с центром города. Построим функцию двух переменных t(x,y), представляющую собой время, в которое звук выстрела был услышан жителем города, находящимся в точке с координатами (x,y). Время выстрела войдёт в эту функцию в качестве параметра. Нам следует подобрать такое значение этого параметра, чтобы среднее значение функции t(x,y) в круге радиуса R=10200м. с центром в начале координат совпало с 12-ю часами. Среднее значение функции будем находить с помощью двойного интеграла. После нахождения времени выстрела на остальные вопросы задачи можно легко ответить, используя известную формулу, связывающую расстояние, скорость и время при равномерном движении.