Как доказать, что последовательность целочисленная? // Сергей Фролов / Математический мирок

Пусть числовая последовательность {a_n} удовлетворяет условиям: a_1 = a_2 = 1, a_(n 1)⋅a_(n−1) = a_n^2 1 Нужно доказать, что все члены последовательности {a_n} являются целыми числами. Идея решения состоит в получении альтернативной рекуррентной формулы, задающей все члены последовательности, начиная с третьего, представляющей собой выражение члена последовательности через два предыдущих. Новая рекуррентная формула, в отличие от предыдущей, является линейной с целыми коэффициентами. С помощью математической индукции несложно доказать, что такая формула задаёт целочисленную последовательность, при условии, что первые два члена последовательности также являются целыми числами. Особое внимание следует уделить доказательству того, что последовательности, задаваемые этими двумя разными рекуррентными формулами с одинаковыми начальными условиями, совпадают.