Как вывести формулу объём шара без использования интегрирования? // Сергей Фролов / Математический мирок

Рассмотрим цилиндр и конус, радиусы оснований и высоты которых равны a. Пусть конус располагается внутри цилиндра таким образом, что их основания совпадают. Обоpначим: T — тело, полученное из цилиндра удалением из него конуса. Отметим, что все три тела являются телами вращения. Несложно найти объём тела T как разность объёмов цилиндра и конуса. Он равен 2πa^3/3. Рассмотрим всевозможные сечения тела T плоскостями, перпендикулярными его оси. Каждое такое сечение, очевидно, является кольцом. Деформируем каждое такое кольцо, превратив его в круг, площадь которого совпадает с площадью кольца. Тогда тело T, очевидно, тоже деформируется. Можно показать, что оно превратится в полушар радиуса a. Исходя из предположения о том, что полушар имеет тот же объём, что и T, приходим к выводу о том, что его объём также равен 2πa^3/3., т. е. объём шара равен 4πa^3/3. Доказательство равенства объёмов тела T и полушара можно провести с использованием известной формулы из интегрального исчисления, представляющей объём тела как интеграл от площади его поперечного сечения.