Задача о внутренней точке треугольника // Сергей Фролов / Математический мирок

Из точки O, лежащей внутри треугольника ABC, опущены перпендикуляры l, m, n на прямые BC, AC, AB соответственно. Углы треугольника при вершинах A, B, C равны α, β, γ соответственно. Доказать, что выражение l⋅sin(α) m⋅sin(β) n⋅sin(γ) является константой, то есть не зависит от положения точки O внутри треугольника ABC. Для решения задачи, используя равенство площади треугольника ABC сумме площадей треугольников AOB, BOC, COA, формулу, выражающую площадь треугольника через его высоту и основание, а также теорему синусов, представляем выражение l⋅sin(α) m⋅sin(β) n⋅sin(γ) в виде отношения площади треугольника ABC к радиусу описанной около него окружности. Это отношение, очевидно, является константой, не зависящей от положения точки O внутри треугольника ABC.