Как построить касательную к гиперболе с помощью циркуля и линейки? // Сергей Фролов / Математический мирок

На плоскости нарисованы оси координат и гипербола y=k/x (масштаб по осям не указан). На гиперболе отмечена точка A. С помощью циркуля и линейки (без делений) провести касательную к гиперболе в точке A. Несложно заметить, что асимптоты гиперболы, совпадающие с осями координат, перпендикулярны. Это означает, что гипербола является равнобочный, откуда следует, что её эксцентриситет (т. е. отношение расстояния от центра к гиперболы до любой её вершины к расстоянию от её центра до любого фокуса) равен корню из двух. Решать задачу предлагается в 2 этапа. На первом этапе построим фокусы гиперболы. Для этого проведём одну из осей симметрии как биссектрису угла, образованного асимптотами. Вершины гиперболы найдём как точки пересечения этой оси с ветвями гиперболы. Зная эксцентриситет, несложно найти фокусы гиперболы, лежащие на этой прямой. На втором этапе построим искомую касательную с использованием оптического свойства гиперболы. Оно заключается в том, что луч света, исходящий из фокуса гиперболы, лежащего внутри одной её ветви, после отражения от другой ветви преломляется таким образом, что продолжение отражённого луча проходит через второй фокус гиперболы. Отражение считается происходящим по законам геометрической оптики: угол падения (т. е. угол между падающим лучом и нормалью к кривой в точке падения луча) равен углу отражения (т .е. углу между отражённым лучом и нормалью).