Алгебраическое уравнение 4-й степени x^4+4x^3+x^2−6x+2=0 // Сергей Фролов / Математический мирок

Решить уравнение x^4 4x^3 x^2−6x 2=0. Перед нами — алгебраическое уравнение четвёртой степени. Его решение можно начать с выяснения, имеются ли его корни среди делителей свободного члена уравнения. Для этого мы подставляем делители свободного члена, т. е. числа ±1 и ±2 в полином P(x), совпадающий с левой частью исходного уравнения. Ни одно из полученных значений полинома не совпадает с нулём. Однако мы замечаем, что P(1)=P(−2)=2. Это означает, что числа 1 и −2 являются корнями полинома P(x)−2. Несложно найти оставшиеся два корня этого полинома — числа 0 и −3. Заметим, что все эти корни расположены на числовой оси симметрично относительно точки −1. Если мы “сдвинем“ корни на единицу вправо по числовой оси, то они будут располагаться на ней симметрично относительно нуля. А это означает, что они будут являться корнями полинома четвёртой степени, содержащего только чётные степени аргумента. Выполним этот “сдвиг“ с помощью подстановки x=t−1. Эта замена неизвестного приведёт к алгебраическому уравнению четвёртой степени, содержащему только чётные степени t, т. е. к биквадратному уравнению относительно t. Решим его, после чего вернёмся к неизвестному x.