Вариант #12 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2025| Математика Профиль

Начало – 00:00 Задача 1 – 01:26 Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на отрезки равные 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции. Задача 2 – 03:56 На координатной плоскости изображены векторы a ⃗ и b ⃗, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора a ⃗ 3b ⃗. Задача 3 – 06:15 Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2. Найдите образующую конуса. Задача 4 – 08:42 В классе 16 учащихся, среди них два друга – Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе. Задача 5 – 11:41 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7? Задача 6 – 17:26 Найдите корень уравнения log_5⁡(5-x)=2 log_5⁡3. Задача 7 – 20:37 Найдите значение выражения (√7 √5)^2/(60 10√35). Задача 8 – 22:54 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0. Задача 9 – 26:41 Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η=(T_1-T_2)/T_1 ∙100%, где T_1 — температура нагревателя (в кельвинах), T_2 — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре нагревателя T_1 КПД этого двигателя будет 25%, если температура холодильника T_2=276 К? Ответ дайте в градусах Кельвина. Задача 10 – 29:12 Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Задача 11 – 36:18 На рисунке изображён график функции вида f(x)=a^x. Найдите значение f(-4). Задача 12 – 40:57 Найдите наибольшее значение функции y=11∙ln⁡(x 4)-11x-5 на отрезке [-3,5;0]. Задача 13 – 45:52 а) Решите уравнение cos⁡2x cos^2 (3π/2-x)=0,25. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2]. Разбор ошибок 13 – 54:40 Задача 15 – 01:00:34 Решите неравенство (9^x-3^(x 1)-19)/(3^x-6) (9^(x 1)-3^(x 4) 2)/(3^x-9)≤10∙3^x 3. Разбор ошибок 15 – 01:18:03 Задача 16 – 01:23:12 Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей. Разбор ошибок 16 – 01:36:30 Задача 18 – 01:39:08 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 3 sin⁡x cos⁡x=a имеет единственное решение на отрезке [π/4;3π/4]. Задача 19 – 01:55:18 Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля). а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20? б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81? в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр? Задача 17 – 02:12:07 Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM- параллелограмм. а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны. б) Найдите AB, если известно, что BE=12, BC=5, AD=9. Задача 14 – 02:30:21 Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH- высоты треугольника ABC. а) Докажите, что 〖AC〗^2-〖BC〗^2=〖AS〗^2-〖BS〗^2. б) Найдите объём пирамиды SABC, если AB=25, AC=10, BC=5√13, SC=3√10.