Функциональная дифференциальная геометрия. Чтение 35. Отклонение геодезических

Сложно говорить о расстояниях, скоростях и ускорениях без метрики, но мы пробуем в двумерном случае. Сначала мы выбираем связность без кручения (мы знаем, что кручение не влияет на геодезические). По связности мы можем построить уравнение геодезических, исходя из идеи, что геодезическая - это такая кривая на многообразии, касательное векторное поле к которой параллельно переносится вдоль самого себя. Мы возьмём в качестве первого координатного (важно) базисного векторного поля это поле касательных к геодезическим T. Координата t вдоль этого поля будет задавать смещение вдоль геодезических на некоторое расстояние t (для каждой геодезической - своё смещение, конечно). В качестве второй координаты s мы возьмём параметр, который выбирает конкретную геодезическую. Смысл s в том, что изменение этой координаты Δs описывает, “сколько“ геодезических проходит через “отрезок“ от (t, s) до (t, s Δs), этакая “плотность“ геодезических. Соответствующее s поле назовём U. Благодаря удачному выбору всех этих компонент, без всякого удивления и труда обнаруживаем, что вторая ковариантная производная (производная после производной) вдоль T от U совпадает с минус римановым оператором кривизны для векторов T и U, действующим на T: [(∇ T) ∘ (∇ T)](U) = -R(U,T)(T). А дальше мы (ну, точнее я) запутываемся в попытках понять, почему же [(∇ T) ∘ (∇ T)](U) описывает ускорение (чего хотелось бы по аналогии с кривизной одномерной кривой). Источник путаницы, видимо, в том, что Δs следовало считать просто числом, а я, смутившись нотацией, считал Δs векторным полем. #физика, #геометрия и #lisp, #иммуроран и современный #матан.