Теория кос | Пролог

Мы укажем основные пререквизиты, обозначим расположение теории кос в топологии и поставим цели курса. Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос. Материалы Конспекты, задачи, литература, загадки, исследовательские проекты и открытые проблемы теории кос: Программа 1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос. 2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла–Нойвирта, группа кос поверхности. 3. Разложение Маркова–Ивановского–Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм. 4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда. 5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп. 6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс–Краммера–Бигелоу, их геометрическая интерпретация. 7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа. 8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы. 9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова. 10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена–Тёрстона. 11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа. 12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы. Пререквизиты Знакомство с базовыми понятиями теории групп (действия групп, свободная группа, задания групп образующими и соотношениями), общей топологии (гомеоморфизмы, поверхности) и алгебраической топологии (гомотопии, клеточные пространства, фундаментальная группа). Курс вполне доступен первокурсникам, поскольку основан на материалах занятий для старшеклассников: https://t точка me/ldtss/388 (их можно считать демоверсией). Подробный алгоритм ликвидации безграмотности, а также обзор курса, его цели и условия получения зачёта доступны по ссылке