Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

Видео на Дзен Геометрия 8 класс Урок№5 - Теорема Фалеса Узнаем формулировку теоремы Фалеса, смоем применять ее на практике. Возьмем лист бумаги с параллельными краями, отложим не нем произвольный отрезок AB и проведем прямые, перпендикулярные AB. Согнем лист по этим перпендикулярам, повторим сгибы несколько раз и раскроем лист. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1. Повторим такие же действия с листом бумаги, у которого края не параллельны. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1. И в первом и во втором случае отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1 равны. Их равенство доказывается теоремой, которую нызывают по имени греческого математика Фалеса Милетского. Формулировка теоремы Фалеса: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Дано: А1А2 = А2А3 c || d || e Доказать: В1В2 = B2В3 Доказательство: А) пусть a || b А1А2 = В1В2 А2А3 = B2В3 Как противоположные стороны параллелограммов. По условию А1А2 = А2А3, следовательно В1В2 = B2В3 Б) пусть a ≠ b Проведем прямую k, параллельную прямой a, она пересечет прямую с в точке F, прямую d в точке В2, прямую e в точке Е. A1FB2A2 – параллелограмм, значит А1А2 = FB2 Аналогично доказывается, что А2А3 = B2E, по условию А1А2 = А2А3, значит FB2 = B2E. Треугольники B1FB2 и B2B3E равны по стороне и двум углам. Следовательно, В1В2 = B2В3 В общем виде теорема Фалеса формулируется так: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки. Есть и более короткая формулировка: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки. Доказанная выше теорема является частным случаем общей теоремы Фалеса, так как равные отрезки пропорциональны с коэффициентом, равным единице. Для теоремы Фалеса верно обратное утверждение: Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны. В этой теореме важно, что равные отрезки начинаются от вершины. С помощью теоремы Фалеса можно разделить данный отрезок на n равных частей. Пусть дан отрезок AB длиной 8 см. Требуется разделить его на 7 равных частей. Решение: Проведем луч с началом в точке А, отличный от отрезка АВ, и отложим на нем с помощью циркуля последовательно семь равных отрезков, начиная от точки А. Конец последнего отрезка соединим с точкой B и проведем параллельные прямые через каждую из точек до пересечения с отрезком АВ. Отрезок АВ разделится на 7 частей, они равны между собой по теореме Фалеса. Фалес Милетский – родился приблизительно в 625 г. умер в середине VI в. до н.э. – родоначальник европейской науки и философии математик, астроном и политический деятель. Фалес происходил из знатного финикийского рода, был современником Солона и Креза, среди сограждан пользовался большим уважением. В геометрии Фалесу приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие. Фалес впервые ввел в науку, и в частности в математику, доказательство. Теорема Фалеса используется не только в геометрии, но и в морской навигации. Она выступает в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.