Отборочный этап олимпиады “Будущие исследователи - будущее науки“ 2024-2025

1. Решите неравенство [x]{x} 1 < x, где [x] - целая часть, а {x} - дробная часть числа х.  2. Определите количество делителей натурального числа 2025^2025 , кратных числу 675.  3. Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющие уравнению 6x^2 17xy 12y^2 16x 21y-13=0 4. Вычислите сумму всех членов последовательности: 3/3, -7/9, 11/27, -15/81, 19/243 5. Вычислите значение выражения cos^2(arctg(3) - arcctg(-1/2)) 6. При каком значении параметра р уравнение имеет два решения? |(x 1)/(3x-1)| |x|=p 7. При наборе слова ОЛИМПИАДА в результате небрежности мог быть нарушен порядок букв. Найдите вероятность того, что сохранится хотя бы порядок гласных (их позиции - необязательно). 8. В прямоугольник со сторонами а и b вписан эллипс. Найдите радиус окружности, вписанной в один из углов прямоугольника и касающейся эллипса внешним образом. 9. Построить множество точек плоскости (х, у) , удовлетворяющих уравнению 4sqrt3|y| 6|×| 6||×|-1/2= 9. 10. При каком значении параметра р неравенство имеет хотя бы одно решение? arccos(px 1 - p) arcsin(2x p - 3)