Отборочный этап олимпиады “Изумруд“ 2024-2025

Наш курс подготовки к олимпиадам: Наш канал с задачками: Задача1. Треугольный замок состоит из 36 одинаковых залов (см. рис.), между любыми двумя залами есть дверь. Какое наибольшее число залов сможет осмотреть человек, не желающий нигде побывать более одного раза? Задача2. На чемпионате по поеданию пельменей участникам предлагалось съесть за одинаковое время как можно больше пельменей. Каждому участнику выдали по тарелке с х пельменями. Петя съел 1/3 всех пельменей, затем съел 1/5 оставшихся пельменей, а затем ещё 126 пельменей. Вася съел 2/3 всех пельменей, затем съел 3/5 оставшихся пельменей, а затем ещё 18 пельменей. Оказалось, что Петя и Вася съели поровну пельменей. Найдите х. Задача3. Имеются чашечные весы и гири с массами 1,3,5,..., 77,79,1681,х граммов. Найдите наименьшее значение х, при котором можно распределить гири по чашам весов так, чтобы весы оказались в равновесии. Задача4. Все натуральные числа от 1 до 3800 покрашены в два цвета красный и синий, по следующему правилу: если сумма двух различных чисел а и в является простым числом, то а и ь покрашены в разные цвета. Известно, что число 1 красное. Найдите количество синих чисел. Задача5. У Серёжи есть бесконечно много белых и чёрных шашек и доска размером 127х127. Он желает выставить на доску m белых и т чёрных шашек так, чтобы ни в какой строке и ни в каком столбце не встречались разноцветные шашки. Найдите наибольшее возможное значение m. Задача6. Дан приведённый кубический многочлен Р(х). Известно, что Р(39) Р(42)=Р(40) Р(41). Найдите удвоенную сумму всех корней Р(х). Задача7. В треугольнике АВС отмечена середина М стороны АС. Точки N,K на стороне АВ таковы, что АК=KN=NB. Точки P,Q,R на стороне ВС таковы, что BP=PQ=QR=RC. Известно, что площадь треугольника MNR равна 198. Найдите площадь треугольника МКР. Задача 8. На графике параболы y=34x2 10x-7 отметили точки M,N,K с абсциссами 11,13,17. Через середины сторон треугольника МNK провели параболу у=ах^2 bx c. Чему равно а? Задача 9. Пусть O- точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Х. Прямая XО пересекает описанную окружность ABCD в точках Р и Q. Известно, что XP=96,XQ=160. Найдите ХО. Задача 10. Какое наибольшее значение может принимать сумма косинусов всех углов равнобедренного треугольника?