Отборочный этап олимпиады “Ломоносов“ 2024-2025

Подробности про олимпиаду: олимпиады/ломоносов/ Календарь олимпиад: Канал с задачками: Канал с мемами: 1.Сколько существует целых чисел N, при которых 32000 - (2.5^N 2.5^(N 1) - целое число? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. 2. Во дворе стояли два ведёрка: первое в форме цилиндра высоты 76 сантиметров и радиуса 18 см. Второе --- в форме усечённого конуса, верхний круг имеет радиус 12 см, а радиус нижнего основания 18 см. Начался дождь, в результате чего оба ведра наполнились до краев одновременно. Найдите высоту второго ведра. 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых неравенство 24y^2 1/96 >= x- axy y - 24x^2 выполняется для любых пар чисел (х, у), таких что |x| = |y|. В ответ записать сумму возможных значений параметра а, если их конечное число, или сумму длин интервалов возможных значений а, если значений а бесконечно много. Если значений а нет никаких пишите 0. 4. Найдите ctg|x|, если известно, что (5 cosx 7sinx sqrt(2)) (sqrt(2)-sqrt(sin(abs(x)))) = 0. В ответе укажите сумму всех возможных значений ctg x округлённую до тысячных. 5. Окружность с центром О на стороне АВ треугольника АВC пересекает сторону АС в точках С и D, касается стороны ВС и пересекает отрезок АО в точке Е, а отрезок ВО в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 5, FB = 4 и угол ACB = угол DFC 90°. При необходимости округлите ответ до сотых. 6. Пусть функция f(x) имеет конечное количество нулей и удовлетворяет условию f(2x) * (x - 1) = f(x) * (2^2025x - 1), x принадлежит R. Найдите количество нулей функции f(x), лежащих в интервале [1/20252024; 1] 7. Даны два одинаковых шара радиуса 7, касающихся друг друга. К ним добавили еще три одинаковых шара, быть может другого радиуса, касающихся друг друга и первых двух шаров. Какого радиуса должны быть эти шары? 8. 11 друзей катаются на катке в форме правильного 22 -угольника. Каждый из них выбрал себе одну пару параллельных сторон катка и катается между ними по прямолинейным траекториям (возможно различным): стартовав от первой стороны, он доезжает до второй, касается заснеженного бортика и едет обратно к первой. И так далее. Через какое-то время оказалось, что суммарно на всех бортиках оказалось 2024 отпечатков рук (включая сделанные в конце, а в начале движения отпечатки не делаются), в углах бортиков отпечатков нет, а все ребята стоят у того бортика, от которого начали движение. Какое максимальное число пересечений траекторий могло получиться? (Самопересечения траекторий не учитываются.)