L’énergie et la mécanique Hamiltonienne

Dans cette vidéo nous parlerons d’énergie en mécanique, et du formalisme associé, le formalisme Hamiltonien de la mécanique analytique. Nous verrons en quoi cela généralise le formalisme Lagrangien, et fournit un principe de moindre action plus général que celui vu dans la dernière vidéo. On verra apparaître la notion fondamentale d’espace des phases, et on pourra toucher à quelques applications liées au comportement à grand temps des systèmes et au chaos. Finalement nous établirons les outils mathématiques permettant de comprendre la structure qui se cache derrière tout cela : transformation de Legendre, fibré cotangent et géométrie symplectique. Lien vers les notes prises pendant la vidéo : ------------------------------------------------------------------- Je m’appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j’essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j’ai également un compte Tipeee Discord : Twitter : Mon site personnel : Tipeee : ------------------------------------------------------------------- Références : - Landau, L., & Lifchitz, E. (1966). Mécanique, Editions Mir. Moscou - Arnol’d, V. I. (2013). Mathematical methods of classical mechanics (Vol. 60). Springer Science & Business Media. - Takhtajan, L. A. (2008). Quantum mechanics for mathematicians Graduate Studies in Mathematics vol 95 (Providence, RI: American Mathematical Society). ------------------------------------------------------------------- Plan: 00:00 Début 8:20 Exemple 1 : le pendule 20:22 Introduction à l’espace des phases 29:43 Exemple 2 : oscillateur harmonique 34:53 Changements de variables et unités 43:30 Changement de variables dans l’espace des phases 54:37 Formalisme Hamiltonien 1:11:55 Transformée de Legendre 1:24:15 Hors-sujet sur la thermodynamique 1:36:10 Flot Hamiltonien et Théorème de Liouville 1:48:55 Conséquences de la conservation du volume 1:59:03 Principe de Moindre Action 2:13:10 Structure mathématique du fibré cotangent 2:31:30 Forme symplectique en coordonnées standard 2:48:46 Passage du Lagrangien au Hamiltonien 2:56:07 Crochet de Poisson 3:02:52 Action en fonction des coordonnées et Hamilton-Jacobi 3:08:04 Transformations canoniques et fonctions génératrices 3:16:55 Transformation à Hamiltonien nul 3:23:40 Exemple de l’oscillateur harmonique 3:32:07 Problème Keplerien asymétrique 3:44:00 Résumé