Разбор задач IMO 2024 с профессором Фёдором Петровым

00:00:00 Задача 1 Найдите все действительные числа α такие, что для любого положительного целого n целое число⌊α⌋ ⌊2α⌋ · · · ⌊nα⌋кратно n. (Здесь ⌊z⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее z. Например, ⌊−π⌋ = −4 и ⌊2⌋ = ⌊2,9⌋ = 2.) 00:07:42 Задача 2 Найдите все пары (a, b) положительных целых чисел, для которых существуют такие положительные целые g и N, что НОД(a^n b, b^n a) = g для всех целых чисел n ⩾ N . (Здесь НОД(x, y) обозначает наибольший общий делитель целых чисел x и y.) 00:15:50 Задача 3 Даны бесконечная последовательность положительных целых чисел a1, a2, a3, . . . и положительное целое число N. Известно, что для любого n > N число an равно количеству раз, которое число an−1 встречается среди a1, a2, . . . , an−1. Докажите, что хотя бы одна из последовательностей a1, a3, a5, . . . и a2, a4, a6, . . . является в конечном итоге периодической. (Последовательность b1, b2, b3, . . . называется в конечном итоге периодической, если существуют такие положительные целые числа p и M, что bm p =bm для всех m⩾M) 00:31:56 Задача 4 Пусть ABC – треугольник, в котором AB < AC < BC. Пусть ω – вписанная в тре- угольник ABC окружность, а I – ее центр. Пусть X – такая точка на прямой BC, отличная от C, что прямая, проходящая через X параллельно AC, касается ω. Аналогично, пусть Y – такая точка на прямой BC, отличная от B, что прямая, проходящая через Y параллельно AB, касается ω. Пусть AI пересекает описанную около треугольника ABC окружность второй раз в точке P ̸= A. Пусть K и L – середины сторон AC и AB соответственно. Докажите, что ∠KIL ∠Y PX = 180◦. 00:53:30 Задача 5 Улитка Турбо играет на доске, имеющей 2024 ряда и 2023 столбца, в следующую игру. В 2022 клетках доски прячутся монстры. Изначально Турбо не знает, где находится какой-либо из монстров, но она знает, что в каждом ряду, кроме первого и последнего, есть ровно один монстр и что в каждом столбце находится не более одного монстра. Турбо делает серию попыток, чтобы пройти из первого ряда в последний. При каждой попытке она может выбрать в качестве начальной любую клетку в первом ряду, а затем совершает серию перемещений из клетки в соседнюю клетку, имеющую общую сторону. (Ей разрешается возвращаться в ранее посещенные клетки.) Если она посещает клетку с монстром, то её попытка завершается, и она переносится обратно в первый ряд, чтобы начать новую попытку. Монстры не двигаются, а Турбо запоминает, есть ли в каждой посещенной ею клетке монстр. Если она достигнет любой клетки в последнем ряду, её попытка завершается и игра оканчивается. Определите минимальное значение n такое, что у Турбо есть стратегия, которая, независимо от местонахождений монстров, гарантирует достижение последней строки за n попыток или раньше. 01:04:22 Задача 6 Пусть Q – множество всех рациональных чисел. Функция f : Q → Q называется смежной, если выполнено следующее условие: для любых x, y ∈ Q имеем f(x f(y)) = f(x) y или f(f(x) y) = x f(y). Докажите, что существует целое число c такое, что для любой смежной функции f имеется не более c различных рациональных чисел вида f (r) f (−r) для какого-то рационального r, и найдите наименьшее возможное значение c.