Выражение частичной суммы ряда ∑f(k) через первообразную f(x) // Сергей Фролов / Математический мирок

Пусть функция f(x), определённая на полузамкнутом промежутке [1,∞), непрерывна, положительна и монотонно убывает на этом промежутке. Тогда частичная сумма числового ряда с общим членом f(k), где k изменяется от единицы до натурального числа n, может быть представлена в виде: F(n) A α_n, где F(n) — некоторая первообразная функции f(x), A — некоторая константа, а α_n — общий член некоторой бесконечно малой числовой последовательности. В частности, если f(x)=1/x, а F(x)=ln(x), то получаем следующее выражение для n-ой частичной суммы гармонического числового ряда: F(n) C γ_n, где предел γ_n равен нулю, а C — это хорошо известная в математике константа, называемая постоянной Эйлера-Маскерони или просто постоянной Эйлера.