Алгебраические моноиды. Семинар 1 // Юлия Зайцева / ЛШСМ 2024

Аффинным алгебраическим многообразием над полем 𝐂 называется множество решений полиномиальной системы уравнений в 𝐂ⁿ. Аффинным алгебраическим моноидом называется алгебраическое многообразие X, снабжённое бинарной операцией X×X → X, (x, y) ↦ x∗y, удовлетворяющей трём условиям. Во-первых, она должна быть ассоциативной: x∗(y∗z) = (x∗y)∗z для любых x,y,z∈X. Во–вторых, должен существовать нейтральный элемент, то есть такой элемент e∈X, что e∗x=x∗e=x для любого x∈X. Наконец, операция должна быть полиномиальной, то есть координаты точки x∗y должны быть многочленами от координат x и y. Примерами алгебраических моноидов служат множество матриц размера n×n с операцией умножения, прямая с операциями сложения или умножения, плоскость с операциями покоординатного сложения или умножения. Но есть и более хитрые: несложно проверить, что операция (x₁, y₁)∗(x₂, y₂) = (x₁x₂, y₁x₂ᵃ y₂x₁ᵇ) задаёт структуру аффинного алгебраического моноида на плоскости 𝐂² для любых целых неотрицательных a, b. Естественный вопрос описания всех моноидов слишком тяжёл в общем случае, но известны результаты для некоторых многообразий или при дополнительных условиях на группу обратимых элементов. Мы познакомимся с основами алгебраической геометрии, докажем некоторые общие факты об алгебраических моноидах, затронем науку о торических многообразиях и обсудим имеющиеся классификационные результаты. Примерное описание программы: 1) Введение: определения, примеры, классификации на 𝐂¹, 𝐂², 𝐂³, примеры на конкретных поверхностях. 2) Минимум из аффинной алгебраической геометрии: аффинное алгебраическое многообразие, алгебра регулярных функций, алгебраические группы, действия. 3) Общие факты про моноиды: группа обратимых элементов открыта по Зарисскому в моноиде, каждый аффинный моноид с группой обратимых элементов G однозначно задаётся двусторонним действием G×G на X, связь идемпотентов и подгрупп и др. 4) Результаты в зависимости от ранга группы обратимых элементов: G=𝐂ⁿ, G=(𝐂×)ⁿ (торические многообразия), G=(𝐂×)ⁿ⁻¹×C и (𝐂×)ⁿ⁻¹⋌𝐂. Если будет время: изучение множества идемпотентов, центра моноида, их связь, картинки. Материалы: Зайцева Юлия Ивановна — старший преподаватель Факультета компьютерных наук ВШЭ. Летняя школа «Современная математика» 25-29 июля 2024 г.