Математические этюды - Развертка

Что такое развертка многогранника? Вы скажите — кусок картона, из которого можно свернуть данный многогранник. В этом есть правда, но это не вся правда. Оказывается, понятие развертки включает в себя больше, чем просто кусок картона. Какой многогранник можно свернуть из столь хорошо известного латинского креста? Конечно же, куб. Для этого надо покрасить ребра, как это сделала наша волшебная кисточка (ребра одинакового цвета склеиваются в многограннике друг с другом). На самом деле, конечно же, лучше было бы раскрашивать не ребра, а каждую пару точек в разные цвета. Это бы задало, как говорят в математике, условия склейки границ. После того, как условия склейки границ заданы, ребра, проходящие внутри куска картона, определены однозначно по теореме А.Д. Александрова. Итак, из креста можно сложить куб. Но оказывается, что если условия склейки границ задать по-другому, то можно получить совсем даже не куб! Наша волшебная кисточка покрасила границы вот таким образом. Еще один ее взмах и мы уже знаем, как определены ребра внутри куска картона. Если теперь, следуя нарисованным условиям склейки, сложить многогранник, то получим пирамиду! Не так давно было доказано, что по-разному задавая условия склейки границ латинского креста, из него можно сложить 5 различных выпуклых многогранников. Итак, как мы убедились, в понятие развертки входит не только кусок картона, но и условия склейки его границ. Если последнее не определено, то из одного и того же куска можно сложить разные выпуклые многогранники.