Парадокс Банаха — Тарского // Vsauce

Парадокс удвоения шара (парадокс Банаха — Тарского или парадокс Хаусдорфа — Банаха — Тарского) — теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число (не обязательно связных) попарно непересекающихся частей, передвинуть их (при этом частям не запрещается «проходить друг сквозь друга», то есть не требуется оставаться попарно непересекающимися во всех промежуточных положениях), и составить из них второе. Ввиду того, что вывод этой теоремы может показаться неправдоподобным, она иногда используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения. Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса.