Тыртышников Е.Е. | Лекция 5 по спецкурсу “Алгебра и геометрия тензоров“, 2023 осень | ВМК МГУ

00:00:03 Доказательство теоремы Гильберта о базисе • Рассматривается система полиномиальных уравнений и идеал, соответствующий этой системе. • Обсуждается метод исключения неизвестных и базис Гребнера. 00:09:39 Лемма и индукция • Доказывается лемма о том, что если идеал не совпадает со всем кольцом, то существует общий ноль. • Индукция проводится по числу неизвестных. 00:16:27 Доказательство основной теоремы • Обсуждается условие, при котором коэффициенты при старшей степени икс один в общей точке первого идеала исключения не равны нулю. • Предлагается сделать следующее: рассмотреть коэффициенты, не зависящие от ксения, и проверить, что хотя бы один из них не равен нулю. 00:16:55 Обобщение основной теоремы алгебры • Рассматривается обобщение основной теоремы алгебры для многочленов с комплексными переменными. • Доказывается, что система многочленов имеет общий ноль только в том случае, если она не совпадает со всем кольцом многочленов. 00:25:34 Вторая часть теоремы Гильберта о нулях • Доказывается вторая часть теоремы Гильберта о нулях: если многочлен обнуляется во всех общих нулях идеала, то существует натуральное число, такое что многочлен в степени n принадлежит идеалу. 00:37:13 Радикальный идеал • Определяется радикальный идеал: идеал называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом. 00:42:41 Радикальные идеалы и алгебраические многообразия • В терминах радикальных идеалов и алгебраических многообразий, если взять алгебраическое многообразие и множество всех многочленов, которые обнуляются в точках этого многообразия, то этот идеал будет радикальным. • Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если взять произвольный радикальный идеал и построить соответствующее ему алгебраическое многообразие, то этот идеал будет совпадать с идеалом, соответствующим этому многообразию. 00:50:10 Проекции алгебраических многообразий • Проекция алгебраического многообразия может не быть алгебраическим многообразием, но если добавить одну точку, то получится алгебраическое многообразие. • Для понимания проекций алгебраических многообразий и их образов при полиномиальных отображениях, нужно изучить понятие алгебраической зависимости векторов. 00:57:01 Понятие алгебраической зависимости • Элементы поля эль называются алгебраически зависимыми над полем к, если они являются корнями некоторого не нулевого многочлена с коэффициентами из поля к. • Если такого многочлена не существует, то элементы называются алгебраически независимыми или трансцендентными над полем к. 01:02:19 Алгебраические числа и алгебраическая зависимость • Алгебраические числа - это комплексные числа, которые являются корнями какого-нибудь не нулевого многочлена с рациональными коэффициентами. • Система чисел израиль называется алгебраически зависимой, если эти числа обращают в ноль при подстановке какого-нибудь не нулевого многочлена, число переменных которого равняется число этих чисел, а коэффициенты являются элементами поля к. 01:05:41 Введение в теорию трансцендентных чисел • Рассматриваются максимальные системы элементов из поля, которые являются алгебраически независимыми над этим полем. • Если взять любые n 1 элементы, то система будет алгебраически зависимой. 01:08:08 Базис трансцендентности • Система из n элементов, алгебраически независимых и алгебраических над полем, называется базисом трансцендентности. • Поле, полученное присоединением элементов к базису трансцендентности, называется минимальным полем, обладающим таким свойством. 01:13:17 Теорема о числе элементов в базисе трансцендентности • Доказывается теорема о том, что число элементов в любом базисе трансцендентности равно степени трансцендентности. 01:23:03 Аналог лемы монотонности • Если система чисел из поля алгебраически зависима, то существует число, которое алгебраически зависит от предыдущих чисел. • Формулируется аналог лемы монотонности для чисел и элементов поля.